Ch4 频率域处理(Image Enhancement in Frequency Domain)

FT ：将信号表示成各种频率的正弦信号的线性组合。

频谱：$|F(u,v)|={\left[R^2(u,v)+I^2(u,v)\right]}^{\frac{1}{2}}$

相位角：$
\phi(u, v) = \tan^{-1}\left[\frac{I(u, v)}{R(u, v)}\right]$

功率谱：$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$

• $I(u,v)$：$F(u,v)$ 的虚部。
• $R(u,v)$：$F(u,v)$ 的实部。

4.5 2-D Fourier Transform

4.5.1 2-D impulse

连续变量$t$和$z$的冲激函数$\delta (t,z)$定义为：
$$\begin{gathered} \delta (t,z)=\{\begin{array}{l}1,t=z=0\\ 0,\text{其他}\end{array} \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t,z)dtdz=1 \end{gathered}$$
取样性质：在冲激处产生函数的值。
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)\delta (t,z)dtdz=f(0,0) \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)\delta (t-t_0,z-z_0)dtdz=f(t_0,z_0) \end{gathered}$$

离散变量x和y，2-D离散冲激定义为(与连续冲激倒是定义一致，在冲激处值为1)：
$$\delta (x,y)\{\begin{array}{l}1,x=y=0\\ 0,\text{其他}\end{array}$$
取样性质：
$$\begin{gathered} \sum _{x=-\infty }^{\infty }\sum _{y=-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x,y)=f(0,0) \\ \sum _{x=-\infty }^{\infty }\sum _{y=-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x-x_0,y-y_0)=f(x_0,y_0) \end{gathered}$$
处理有限维图像时，上述两个公式的限制改为图像的维数。

4.5.2 2-D Fourier Transform Pair(变换对)

2-D Fourier Transform：令$f(t,z)$是两个连续变量$t$,$z$的连续函数。
$$\begin{gathered} F(\mu ,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+vz)}dtdz \\ f(t,z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\mu ,v)e^{j2\pi (\mu t+vz)}d\mu dv \end{gathered}$$
$\mu ,v$是频率变量；$t,z$是连续空间变量。$\mu ,v$定义了连续频率域。

二维盒式函数:
$$f(t,z)=\{\begin{array}{l}A,-\frac{T}{2}\le t\le \frac{T}{2},-\frac{Z}{2}\le z\le \frac{Z}{2}\\ 0,\text{其他}\end{array}$$

对应的傅里叶变换如下：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 10: F(\mu,v)&̲=\int_{-\infty}…
联系到一维情况下连续函数的情况：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 6: f(t)&̲=\begin{cases} …
因为$e^{j\theta }-e^{-j\theta }=(\cos \theta +j\sin \theta )-(\cos \theta -j\sin \theta )=2j\sin \theta$,所以：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 8: F(\mu)&̲=\frac{A}{\pi\m…
所以对于2-D情况下$F(\mu ,v)=ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi vZ)}{\pi vZ}]$，更易理解。看下图：右图是频谱的一部分，谱中0位置与T,Z成反比，当$T>Z$，谱沿$\mu$轴更“收缩”。

4.5.3 2-D Sampling

先介绍一下1-D sampling：

因为时域与频域对称：$f(t)\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }F(\mu ),F(t)\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }f(-\mu )$
$$\delta (t-t_0)\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }{e}^{-j2\pi \mu t_0},e^{-j2\pi \mu t_0}\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }\delta (-\mu -t_0)=\delta (\mu +t_0)$$
冲激串：
$$\begin{gathered} S_{\Delta T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k\Delta T)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \\ {C}_n=\frac{1}{\Delta T}{\int }_{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}{S}_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt \end{gathered}$$
当t=0时产生冲激($[-\frac{\Delta T}{2},\frac{\Delta T}{2}]$区间内积分仅包含t=0处冲激)，此时$C_n=\frac{1}{\Delta T}{\int }_{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}{S}_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt=\frac{1}{\Delta T}$:
$$S_{\Delta T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{\Delta T}{e}^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}$$
对$S_{\Delta T}(t)$进行傅里叶变换：
$$\begin{gathered} S_{\Delta T}(t)\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }\frac{1}{\Delta T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\mu -\frac{n}{\Delta T}) \\ {e}^{\frac{j2\pi n}{\Delta T}t}\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }\delta (\mu -\frac{n}{\Delta T}) \end{gathered}$$

对于2-D冲激串被定义为:
$$S_{\Delta T}(t,z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-m\Delta T,z-n\Delta Z)$$
$\Delta T,\Delta Z$是连续函数$f(t,z)$沿t轴和z轴的样本间的间隔。上式描述了沿两个轴无限扩展的一组周期冲激。

2-D带限函数：在$[-{\mu }_{\max },{\mu }_{\max }],[-v_{\max },v_{max}]$建立的频率域矩阵外，$f(t,z)\stackrel{\mathrm{FT}}{\to }0$：
$$F(\mu ,v)=0,|\mu |\ge {\mu }_{\max },|v|\ge v_{\max }$$

带限：当且仅当$f(t,z)$在两个坐标方向无限扩展的时候，$f(t,z)$一般才可能是带限的。

2-D取样定理：间隔满足$\Delta T<\frac{1}{2{\mu }_{\max }},\Delta Z<\frac{1}{2v_{\max }}$or$\frac{1}{\Delta T}>2{\mu }_{\max },\frac{1}{\Delta Z}>2v_{\max }$，则连续带限函数f(t,z)可由其一组样本无误地复原（无信息丢失）。

4.5.5 2-D DFT, IDFT

书上的形式:
$$\begin{gathered} \text{DFT:} \\ F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \\ \text{IDFT}: \\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u.v)e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \end{gathered}$$
PPT中给出的形式（此时这个常数的平方根应包含在正变换和反变换前面，以便形成一个更为对称的变换对）：
$$\begin{gathered} \text{DFT:} \\ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \\ \text{IDFT}: \\ f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u.v)e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \end{gathered}$$

4.6 2-D DFT, IDFT的性质

• 空间间隔与频率间隔：$\Delta u,\Delta v$与$\Delta T,\Delta Z$成反比。

  对连续函数$f(t,z)$取样生成了一副数字图像$f(x,y)$,它由t方向和z方向所取得$M\times N$个样本组成。令$\Delta T,\Delta Z$表示样本间的间隔。频率域对应的离散变量间的间隔分别为$\Delta u=\frac{1}{M\Delta T},\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}$。

• 平移(shifting)：

  • 时间平移 (Time-shifting)：图像在空间域中的平移（时移）会导致频域中乘以一个复指数因子。该复指数因子只影响相位，不影响幅度。
    $$\mathfrak{J}[f(x-x_0,y-y_0)]=F(u,v)e^{-j2\pi \left(\frac{u{x}_0}{M}+\frac{v{y}_0}{N}\right)}$$

  • 频率平移 (Frequency shifting)：空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。
    $$\begin{gathered} \mathfrak{J}[f(x,y)e^{-j2\pi \left(\frac{u_{0}x}{M}+\frac{v_{0}y}{N}\right)}]=F(u-u_0,v-v_0) \\ \mathfrak{J}[f(x,y)(-1{)}^{x+y}]=F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}) \end{gathered}$$

• 对称性(Symmetry):

  • 平均值 (Average)：$F(0,0)=\frac{1}{MN}{\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)$
  • 共轭对称性 (Conjugate Symmetric)：$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$
  • 对称性 (Symmetric)：$|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$

• 分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列)，这降低了计算复杂度，便于实现快速傅里叶变换（FFT）。
  $$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{y=0}^{N-1}\left[\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}f(x,y)e^{-j2\pi \frac{ux}{M}}\right]e^{-j2\pi \frac{vy}{N}}$$

• 旋转 (Rotation)：图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度${\theta }_0$，其频谱也旋转相同角度。
  KaTeX parse error: Undefined control sequence: \iffF at position 25: …eta + \theta_0)\̲i̲f̲f̲F̲(\omega, \phi +…

• 周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性，频域中的数据在$M\times N$范围内重复。
  $$\begin{gathered} f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N) \\ F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N) \end{gathered}$$

• 线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算，两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。
  $$\mathfrak{J}[af(x,y)+bg(x,y)]=a\mathfrak{J}[f(x,y)]+b\mathfrak{J}[g(x,y)]$$

• 微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应$-4{\pi }^2(u^2+v^2)$，与拉普拉斯算子相关。
  $$\begin{gathered} \mathfrak{J}\left[\frac{{\partial }^{n}f(x,y)}{\partial x^n}\right]=(j2\pi u{)}^n\mathfrak{J}[f(x,y)] \\ \mathfrak{J}\left[{\nabla }^{2}f(x,y)\right]=-4{\pi }^2(u^2+v^2)F(u,v) \end{gathered}$$

• 卷积(Convolution):$\mathfrak{J}[f(x,y)\ast g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)$

• 相关(Correlation):$\mathfrak{J}[f(x,y)\circ g(x,y)]=F(u,v)\cdot G^{\ast }(u,v)$

• 相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时，频域数据会发生相反的缩放，并且幅度会按照缩放比例调整。
  $$\mathfrak{J}[f(ax,by)]=\frac{1}{|ab|}F\left(\frac{u}{a},\frac{v}{b}\right)$$

4.6.1 总结

名称	表达式
1) 离散傅里叶变换 (DFT) of$f(x,y)$	$F(u,v)={\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$
2) 逆离散傅里叶变换 (IDFT) of$F(u,v)$	$f(x,y)=\frac{1}{MN}{\sum }_{u=0}^{M-1}{\sum }_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$
3) 频谱	$
4) 相位角	$\varphi (u,v)={\tan }^{-1}\left[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right]$
5) 极坐标表示	$F(u, v) =
6) 功率谱	$P(u, v) =
7) 平均值	$\bar{f}=\frac{1}{MN}{\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)=\frac{1}{MN}F(0,0)$
8) 周期性 ($k_1,k_2$ 为整数)	$\begin{array}{rl}F(u,v)& =F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)\\ f(x,y)& =f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)\end{array}$
9) 卷积	$(f\ast h)(x,y)={\sum }_{m=0}^{M-1}{\sum }_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$
10) 相关	$(f\star h)(x,y)={\sum }_{m=0}^{M-1}{\sum }_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x+m,y+n)$
11) 可分性	2D DFT 可以通过对图像的每一行（或列）计算 1D DFT，再对每一列（或行）计算 1D DFT 得到。详见 Section 4.11。
12) 使用DFT算法计算 IDFT	$MN{f}^{\ast }(x,y)={\sum }_{u=0}^{M-1}{\sum }_{v=0}^{N-1}{F}^{\ast }(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$

---

名称	傅里叶变换对 (DFT Pairs)
1) 对称性质	参见 Table 4.1
2) 线性	$a{f}_1(x,y)+b{f}_2(x,y)⟺a{F}_1(u,v)+b{F}_2(u,v)$
3) 平移 (通用)	$\begin{array}{rl}f(x,y)e^{j2\pi (u{x}_0/M+v{y}_0/N)}& ⟺F(u-u_0,v-v_0)\\ f(x-x_0,y-y_0)& ⟺F(u,v)e^{-j2\pi (u{x}_0/M+v{y}_0/N)}\end{array}$
4) 频域中心移动 (M/2, N/2)	$\begin{array}{rl}f(x,y)(-1{)}^{x+y}& ⟺F(u-M/2,v-N/2)\\ f(x-M/2,y-N/2)& ⟺F(u,v)(-1{)}^{u+v}\end{array}$
5) 旋转	$\begin{array}{rl}f(r,\theta +{\theta }_0)& ⟺F(\omega ,\varphi +{\theta }_0)\\ r& =\sqrt{x^2+y^2},\omega =\sqrt{u^2+v^2},\\ \theta & ={\tan }^{-1}(y/x),\varphi ={\tan }^{-1}(v/u)\end{array}$
6) 卷积定理 †	$\begin{array}{rl}(f\ast h)(x,y)& ⟺(F\cdot H)(u,v)\\ (f\cdot h)(x,y)& ⟺(1/MN)[(F\ast H)(u,v)]\end{array}$
7) 相关定理 †	$\begin{array}{rl}(f\star h)(x,y)& ⟺(F^{\ast }\cdot H)(u,v)\\ (f^{\ast }\cdot h)(x,y)& ⟺(1/MN)[(F\star H)(u,v)]\end{array}$
8) 离散单位脉冲	$\delta (x,y)⟺1⟺MN\delta (u,v)$
9) 矩形	$\text{rec}[a,b]⟺\frac{\sin (\pi ua)}{\pi ua}\frac{\sin (\pi vb)}{\pi vb}{e}^{-j(ua+vb)}$
10) 正弦	$\sin (2\pi u_0/M+2\pi v_0/N)⟺j\frac{MN}{2}[\delta (u+u_0,v+v_0)-\delta (u-u_0,v-v_0)]$
11) 余弦	$\cos (2\pi u_0/M+2\pi v_0/N)⟺\frac{MN}{2}[\delta (u+u_0,v+v_0)+\delta (u-u_0,v-v_0)]$
12) 微分 (假设边界条件为0)	$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}& ⟺j(2\pi u/M)F(u,v)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& ⟺-(2\pi u/M{)}^{2}F(u,v)\end{array}$
13) 高斯	$A2\pi {\sigma }^2{e}^{-2{\pi }^2{\sigma }^2(u^2+v^2)}⟺A{e}^{-(u^2+v^2)/{\sigma }^2}$

注：傅里叶变换对对于连续变量可以进一步推导（以$t$ 和$z$ 表示空间变量，$u$ 和$v$ 表示频率变量），这些结果可以通过采样离散变量用于 DFT 工作。

2-D Discrete Fourier Transform

2-D Fourier Transform

定义	说明
傅里叶级数	任何周期性重复的函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和，每个乘以不同的系数。
傅里叶变换	即使不是周期性的函数（但其曲线下面积是有限的）也可以表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分。
频域	指图像的二维离散傅里叶变换的平面。
傅里叶变换的目的	将信号表示为各种频率的正弦信号的线性组合。

2-D Continuous Fourier Transform

$$j=\sqrt{-1},e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$
1-D傅里叶变换与逆：
$$\begin{gathered} F(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-j2\pi ux}dx \\ f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(u)e^{j2\pi ux}du \end{gathered}$$
2-D傅里叶变换与逆：
$$\begin{gathered} F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy \\ f(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv \end{gathered}$$

2-D Discrete Fourier Transform

1-D Discrete Fourier Transform

1-D离散傅里叶变换和逆是：$u,x=0,1,\dots ,M-1$
$$\begin{gathered} F(u)=\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j\frac{2\pi ux}{M}} \\ f(x)=\sum _{u=0}^{M-1}F(u)e^{j\frac{2\pi ux}{M}} \end{gathered}$$
因为$e^{j\theta }=\cos \theta +\sin \theta$,离散傅里叶变换可以被写成：
$$F(u)=\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}f(x)\left[\cos \frac{2\pi ux}{M}-j\sin \frac{2\pi ux}{M}\right]$$

• 频率（时间）域：$F(u)$的值所在的域（$u$ 的值）；因为$u$决定了变换分量的频率。
• 频率（时间）分量：$F(u)$的$M$个项中的每一个。

极坐标表示（谱=函数）
$$F(u)=|F(u)|e^{j\varphi (u)}$$

• $F(u)={\left[R(u{)}^2+I(u{)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$: 幅度谱，用于描述频率成分的强度。
• $\varphi (u)={\tan }^{-1}\left(\frac{I(u)}{R(u)}\right)$ ：相位谱，用于描述频率成分的相位信息。
• $R(u)$是频域函数的实部，$I(u)$是频域函数的虚部。

功率谱：$P(u)=|F(u){|}^2$, 用于量化图像在不同频率处的能量分布，是幅度谱的平方。

2-D Discrete Fourier Transform

$$\begin{gathered} F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)} \\ f(x,y)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)} \end{gathered}$$

• $|F(u,v)|={\left[R^2(u,v{)}^2+I^2(u,v)\right]}^{\frac{1}{2}}$: 幅度谱
• $\varphi (u,v)={\tan }^{-1}\left[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right]$: 相位谱
• $P(u,v)=|F(u,v){|}^2$: 功率谱

二维离散傅里叶变换的性质(Properties of 2-D DFT)

1. 平移(shifting)：

   • 时间平移 (Time-shifting)：图像在空间域中的平移（时移）导致幅度谱不变、相位谱变化。
     $$\begin{array}{rl}\mathfrak{J}[f(x-x_0,y-y_0)]& =F(u,v)e^{-j2\pi \left(\frac{u{x}_0}{M}+\frac{v{y}_0}{N}\right)}\\ f(x-x_0,y-y_0)& =\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{ux-u{x}_0}{M}+\frac{vy-v{y}_0}{N}\right)}\\ & =\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}{e}^{-j2\pi \left(\frac{u{x}_0}{M}+\frac{v{y}_0}{N}\right)}\\ \mathfrak{J}[f(x-x_0,y-y_0)]& =F(u,v)e^{-j2\pi \left(\frac{u{x}_0}{M}+\frac{v{y}_0}{N}\right)}\end{array}$$

   • 频率平移 (Frequency shifting)：空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。式2常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。
     $$\begin{gathered} \mathfrak{J}[f(x,y)e^{j2\pi \left(\frac{u_{0}x}{M}+\frac{v_{0}y}{N}\right)}]=F(u-u_0,v-v_0) \\ \mathfrak{J}[f(x,y)(-1{)}^{x+y}]=F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}) \\ proof.u_0=\frac{M}{2},v_0=\frac{N}{2} \\ \mathfrak{J}[f(x,y)e^{j2\pi \left(\frac{u_{0}x}{M}+\frac{v_{0}y}{N}\right)}]=\mathfrak{J}[f(x,y)e^{j\pi (x+y)}]=\cos \pi (x+y)+j\sin \pi (x+y)=(-1{)}^{x+y} \end{gathered}$$

2. 对称性(Symmetry):

   • 平均值 (Average)：$F(0,0)=\frac{1}{MN}{\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)$ 是直流量，相当于中心点=平均值。
   • 共轭对称性 (Conjugate Symmetric)：$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$
   • 对称性 (Symmetric)：$|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$

3. 分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列)，这降低了计算复杂度，便于实现快速傅里叶变换（FFT）。
   $$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{y=0}^{N-1}\left[\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}f(x,y)e^{-j2\pi \frac{ux}{M}}\right]e^{-j2\pi \frac{vy}{N}}$$

4. 旋转 (Rotation)：图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度${\theta }_0$，其频谱也旋转相同角度。
   $$f(r,\theta +{\theta }_0)⟺F(\omega ,\varphi +{\theta }_0)$$

5. 周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性，频域中的数据在$M\times N$范围内重复。
   $$\begin{gathered} f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N) \\ F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N) \end{gathered}$$

6. 线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算，两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。
   $$\mathfrak{J}[af(x,y)+bg(x,y)]=a\mathfrak{J}[f(x,y)]+b\mathfrak{J}[g(x,y)]$$

7. 微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应$-4{\pi }^2(u^2+v^2)$，与拉普拉斯算子相关。
   $$\begin{gathered} \mathfrak{J}\left[\frac{{\partial }^{n}f(x,y)}{\partial x^n}\right]=(j2\pi u{)}^n\mathfrak{J}[f(x,y)]=(j2\pi u{)}^{n}F(u,v) \\ \mathfrak{J}\left[{\nabla }^{2}f(x,y)\right]=-4{\pi }^2(u^2+v^2)F(u,v) \end{gathered}$$

8. 卷积(Convolution):$\mathfrak{J}[f(x,y)\ast g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)$

9. 相关(Correlation):$\mathfrak{J}[f(x,y)\circ g(x,y)]=F(u,v)\cdot G^{\ast }(u,v)$

10. 相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时，频域数据会发生相反的缩放，并且幅度会按照缩放比例调整。
    $$\mathfrak{J}[f(ax,by)]=\frac{1}{|ab|}F\left(\frac{u}{a},\frac{v}{b}\right)$$

一些常用的傅里叶变换对 (FT Pairs)

1. 单位冲激函数($\delta$)：$\delta (x,y)\leftrightarrow 1$

   $\delta$函数与其他函数卷积，就等于这个函数本身。
   $$\begin{gathered} \delta (x)\ast g(x)⟺F(\delta (x))G(x) \\ g(x)⟺1\times G(x) \end{gathered}$$

2. 高斯函数: 空间域是高斯函数，频率域仍是高斯函数，但与空间域的标准差成反比。
   $$A2\pi {\sigma }^2\exp (-2{\pi }^2{\sigma }^2(x^2+y^2))⟺A\exp \left(-\frac{u^2+v^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
   高斯函数的FT仍是高斯函数，中心在$(0,0)$频率。
   $$\exp (-\pi (x^2+y^2))⟺\exp (-\pi (u^2+v^2))$$

3. 正弦函数: 空间域是正弦函数，频率域则是两个对称的冲激函数，分别位于$(u_0,v_0),(-u_0,-v_0)$, 但幅度带有$j$和相反的符号。
   $$\sin (2\pi u_{0}x+2\pi v_{0}y)⟺\frac{1}{2}j\left[\delta (u+u_0,v+v_0)-\delta (u-u_0,v-v_0)\right]$$

4. 余弦函数: 空间域是余弦函数，频率域则是两个对称的冲激函数，分别位于$(u_0,v_0),(-u_0,-v_0)$.
   $$\cos (2\pi u_{0}x+2\pi v_{0}y)⟺\frac{1}{2}\left[\delta (u+u_0,v+v_0)+\delta (u-u_0,v-v_0)\right]$$

空间域中的正弦信号也在频域中产生两个对称的冲激，但其相位不同于余弦。

Filtering in the Frequency Domain

卷积定理：$f(x,y)\ast h(x,y)$与$F(u,v)H(u,v)$组成傅里叶变换对。左边的表达式(空间域卷积)可以通过对右边表达式进行傅里叶反变换获得；右边的表达式可以通过对左式进行正向傅里叶变换获得。频率域的卷积被简化为空间域的乘法，反之亦然。
$$\begin{gathered} \mathfrak{J}[f(x,y)\ast h(x,y)]=F(u,v)H(u,v) \\ \mathfrak{J}[f(x,y)h(x,y)]=F(u,v)\ast H(u,v) \end{gathered}$$

相关定理：
$$\begin{gathered} \mathfrak{J}[f(x,y)\star h(x,y)]=F^{\ast }(u,v)H(u,v) \\ \mathfrak{J}[f^{\ast }(x,y)h(x,y)]=F(u,v)\star H(u,v) \\ \mathfrak{J}[f(x,y)\star f(x,y)]=|F(u,v){|}^2 \\ \mathfrak{J}[|f(x,y){|}^2]=F(u,v)\star F(u,v) \end{gathered}$$
伸缩性质：
$$\mathfrak{J}[f(ax,by)]=\frac{1}{|ab|}F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})$$

【能量保持 · 帕斯瓦尔定理】如果离散的信号是一维的，对每个信号平方求和，再进行傅里叶变换，频域上也能得到一致的平方和。信号再时域和频域之间能量不变。

频域滤波

基本思想 ：通过选择一个特定的滤波器传递函数$H(u,v)$来修改图像的傅里叶变换$F(u,v)$。

基于卷积定理的频域滤波实现：

1. 通过傅里叶变换将图像从空间域$f(x,y)$转换到频域$F(u,v)$。
2. 在频域中对傅里叶变换结果$F(u,v)$乘以滤波器$H(u,v)$。
3. 通过傅里叶逆变换将结果转换回空间域，得到滤波后的图像 J − 1 { H ( u , v ) F ( u , v ) } \mathfrak{J}^{-1}\{H(u, v)F(u, v)\} J−1{H(u,v)F(u,v)}。

Wraparound Error（混叠误差）: 在频域卷积时，完整信号可以被切分成多个简单信号相加。那么这些简单信号在交叠处：究竟是取信号1的值、还是取信号2的值呢？

解决方法： 对图像进行零填充 (Padding)，扩展信号范围，避免非零部分的干扰。就是改变简单信号的周期，让其周期=完整信号的周期，然后会有一些部分，然后全部=0（这个就叫零填充）。

从空域滤波器中获取频域滤波器(Obtaining Frequency Domain Filters from Spatial Filters)

**Q: **Why?

A: 1.效率 2.有意义的比较

理想低通滤波器(ILPF)：

$$H(u,v)=\{\begin{array}{l}1,D(u,v)\le D_0\\ 0,D(u,v)>D_0\end{array}$$
其中$D(u,v)$是从点$(u,v)$到频率矩阵中心$(0,0)$的距离:
$$D(u,v)=\sqrt{{\left(u-\frac{M}{2}\right)}^2+{\left(v-\frac{N}{2}\right)}^2}$$

巴斯沃斯低通滤波器(Butterworth Lowpass Filters, BLPFs):
$$H(u,v)=\frac{1}{1+{\left[\frac{D(u,v)}{D_0}\right]}^{2n}}$$
随n增大，会越来越趋近于理想的低通滤波器。当$D(u,v)=D_0,\frac{D(u,v)}{D_0}=1,1^n=1$，因此永远过0.5的点。

高斯低通滤波器( Gaussian Lowpass Filters, GLPFs)
H ( u , v ) = exp ⁡ { − D 2 ( u , v ) 2 D 0 2 } H(u,v)=\exp\{\frac{-D^2(u,v)}{2D^2_0}\} H(u,v)=exp{2D02​−D2(u,v)​}

频率锐化滤波器(Sharpening Frequency Domain Filters)

通用高通频域滤波器：
$$H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)$$

高通滤波器	公式
理想高通滤波器	$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }D(u,v)\le D_0\\ 1& \text{if }D(u,v)>D_0\end{array}$
巴斯沃斯高通滤波器	$H(u,v)=\frac{1}{1+[D_0/D(u,v){]}^{2n}}$
高斯高通滤波器	$H(u,v)=1-e^{-D^2(u,v)/2D_0^2}$

(Sharpening Frequency Domain Filters)

通用高通频域滤波器：
$$H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)$$

高通滤波器	公式
理想高通滤波器	$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }D(u,v)\le D_0\\ 1& \text{if }D(u,v)>D_0\end{array}$
巴斯沃斯高通滤波器	$H(u,v)=\frac{1}{1+[D_0/D(u,v){]}^{2n}}$
高斯高通滤波器	$H(u,v)=1-e^{-D^2(u,v)/2D_0^2}$